Многомерные аналоги характеристических функций Лившица–Потапова и внутренние функции матричного аргумента

Рассмотрим унитарные матрицы размера $n+m$, определенные с точностью до сопряжения унитарной матрицей размера $n$. Есть известный инвариант таких матриц — характеристическая оператор-функция, которая является голоморфным отображением из единичного круга в пространство $B_m$ всех матриц размера $n$ с нормой $\le 1$, причем на единичной окружности значения функции унитарны (напомним,что $B_m$ — классическая область Картана первого типа). Мы рассматриваем более общие задачи о классах сопряженности (например, набор унитарных матриц размера $n+m$ с помощью общей унитарной матрицы размера $n$) и строим в качестве инвариантов внутренние функции матричного аргумента, т.е. функции $B_k\to B_m$, которые переводят границу Шилова в границу Шилова (т.е. унитарную группу $U(k)$ в унитарную группу $U(m)$).