О гипотезе кузнечных мехов в пространствах постоянной кривизны

Изгибаемый многогранник в n-мерном пространстве — это замкнутая $(n-1)$-мерная полиэдральная поверхность с жесткими $(n-1)$-мерными гранями и шарнирами в $(n-2)$-мерных гранях, допускающая нетривиальные деформации (изгибания). Гипотеза кузнечных мехов утверждает, что объем любого изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибания. Для многогранников в трехмерном евклидовом пространстве гипотеза кузнечных мехов была доказана И. Х. Сабитовым в 1996 году, однако это доказательство не обобщалось на пространства старших размерностей. Я расскажу о том, как гипотеза кузнечных мехов доказывается для многогранников в евклидовых пространствах произвольных размерностей и в нечетномерных пространствах Лобачевского. Последний результат связан с изучением аналитического продолжения функции объема $n$-мерного гиперболического симплекса.