Вопросы существования периодических решений для функционально-дифференциальных уравнений точечного типа

Доклад посвящен вопросам существования периодических решений для обыкновенных дифференциальных уравнений, а также функционально-дифференциальных уравнений точечного типа с квазилинейными правыми частями.
Первый подход основан на учете асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений, которые не учитывались при изучении периодических решений, так как рассматривались сужения таких уравнений на интервал, равный периоду. Такие условия существования периодического решения полученные на основе изучения действия оператора сдвига, но с учетом его асимптотических свойств, являются новыми даже для обыкновенных дифференциальных уравнений и существенно расширяют класс неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых применим такой признак.
Второй подход по своей сути наиболее близок к методу интегральных уравнений. Основной особенностью работ такой направленности является процедура линеаризации и построение операторной функции Грина, с помощью которой и строится периодическое решение для исходного уравнения. Сама процедура построения операторной функции Грина, а также проверка условий, которым она должна удовлетворять, являются трудоемкими, ибо связана с вопросами по локализации спектра. Решение каждой конкретной задачи требует проведения нетривиальной большой предварительной работы. Отдельного изучения требует вопрос о том, является ли решение классическим?Подход, представленный в докладе, позволяет обойти эти сложности. Условия, обеспечивающие существование и единственность классического периодического решения являются легко проверяемыми и формулируются в терминах характеристик правой части дифференциального уравнения (константа Липщица для остаточного нелинейного возмущения, коэффициенты линеаризованного уравнения, величина отклонений в случае функционально-дифференциального уравнения точечного типа). Представленный подход основан на метода Фурье и применим в случае дифференциальных уравнений с непрерывно-дифференцируемой правой частью. Более того, описан итерационный процесс построения такого решения, а также указана скорость сходимости процесса.