Гиперэллиптические теоремы сложения и приложения

В докладе будеи рассказано о результатах, полученных совсем недавно совместно с Д. В. Лейкиным.
Пусть дано семейство алгебраических кривых $\{f(x,y,lambda)=0\}$ рода $g$. Мы рассматриваем два известных расслоения $U$ и $X$ над пространством параметров $\{\Lambda\}$. Слоем расслоения $U$ является якобиан кривой. Пространство $U$ имеет естественную структуру группоида, индуцирующую каноническое сложение на слое. Слоем расслоения $X$ является $g$-я симметрическая степень кривой. Мы описываем структуру алгебраического группоида на $X$, ограничение которой на слой в случае $g=1$ дает классическое сложение на кривой третьего порядка.
Теоремы сложения, о которых будет идти речь в докладе, дают явное описание изоморфизма группоидов $U\to X$ в терминах абелевых функций на $U$. В случае $g=1$ это приводит к классическим теоремам сложения для эллиптических функций Вейерштрасса. Эффективность предложенного общего подхода демонстрируется в гиперэллиптическом случае, в котором мы даем решение важной для современных приложений задачи о формулах сложениях гиперэллиптических абелевых функций.
В качестве приложения мы получаем новые дифференциальные уравнения, решаемые в сигма-функциях. Это — трилинейные уравнения, существенно развивающие известные билинейные уравнения Хироты.