Что есть точные формулы?

Известно большое число точных формул для тeта-функций: Эйлер, Гаусс, Якоби, Риман, …, книга Мамфорда “Tata lectures on Theta”. В докладе мы рассмотрим этот сюжет теории эллиптических функций с точки зрения модулярных форм Якоби. Такая интерпретация вводит в оборот новые объекты. Мы обсудим:
1) новые тождества между бесконечными произведениями и суммами, в частности, обобщения формулы Якоби о представлении восемью квадратами (1829);
2) обобщения тета-соотношений Римана;
3) явные тета-выражения для образующих целочисленного биградуированного кольца слабых форм Якоби всех целых весов.
Последнее кольцо, имеющее 14 образующих, является естественным “целевым” кольцом в теории эллиптических когомологий (см. известную статью Totaro, arXiv:math/0003240), обобщенных эллиптических родов (Gritsenko, arXiv:math/9906191) и появляется в теории струн. Мы опишем целочисленное кручение этого кольца и предлагаем вам дать его топологическую интерпретацию.
Для понимания доклада достаточно знать определение нечетной тета-функции Якоби и (желательно) P-функции Вейерштрасса. Полученные результаты — первый шаг в решении аналогичных проблем в случае многих абелевых переменных.