Несимметричная модель кольцевой генной сети

Изучается модель кольцевой генной сети, несимметричной относительно циклической перестановки переменных:
\begin{align*} &\frac{dm_1}{dt}=-k_1m_1+f_1(p_3); &\frac{dp_1}{dt}=\mu_1(m_1-p_1);\\ &\frac{dm_2}{dt}=-k_2m_2+f_2(p_1); &\frac{dp_2}{dt}=\mu_2(m_2-p_2);\\ &\frac{dm_3}{dt}=-k_3m_3+f_3(p_2); &\frac{dp_3}{dt}=\mu_3(m_3-p_3); \end{align*}

Здесь $p_j(t)$ — концентрации трех белков, связанных в указанной сети, $m_j(t)$ обозначают концентрации соответствующих им мРНК. Положительные гладкие монотонно убывающие функции $f_j(p)$ описывают отрицательные обратные связи, регулирующие синтез белков $p_j$. Положительные параметры $\mu_j$ и $k_j$ описывают скорости разложения тех белков и мРНК.
Для этой системы установлены достаточные условия существования периодической траектории (цикла), построена её инвариантная окрестность, описана комбинаторная структура фазового портрета. Рассмотрены многомерные аналоги такой динамической системы.
В симметричном случае такая система при $k_j=1$ и $f_1(p)=f_2(p)=f_3(p)=\alpha_1+\alpha(1+p^\gamma)^{-1}$ изучалась в работе: Колесов А.Ю., Розов Н.Х., Садовничий В.А. Периодические решения типа бегущих волн в кольцевых генных сетях. Изв. РАН, сер. математическая. 2016. Т. 80, № 3. С. 67–94.