Аннотация:
В докладе пойдет речь о классической теории узлов, то есть о теории замкнутых 1-мерных подмногообразий в трехмерном пространстве, главной задачей которой является, конечно, их классификация.
Существует формальное (алгоритмическое) решение, состоящее в доказательстве теоретической возможности присвоить номер каждому топологическому типу зацеплений так, чтобы некий алгоритм за конечное время сообщал этот номер для любого зацепления, поданного на вход алгоритма. Основы этого решения (потребовавшего усилий целого ряда
математиков) были заложены Вольфгангом Хакеном, который в 1961 г.
построил первый алгоритм распознавания тривиального узла. Метод Хакена и алгоритмы, построенные с его помощью, работают не с самим зацеплением, а с многообразием, полученным вырезанием из трехмерной сферы его трубчатой окрестности.
В начале 2000-х докладчиком было обнаружено, что тривиальный узел можно распознавать более «естественным» образом — просто его распутывая, если узел представлен так называемой прямоугольной диаграммой. Под распутыванием понимается применение последовательности некоторых элементарных преобразований, не увеличивающих сложность диаграммы.
Оказывается, прямоугольная диаграмма тривиального узла всегда распутывается полностью.
Возникает соблазн обобщить этот подход на все узлы, приводя их с помощью распутывания к «каноническому виду», но напрямую он не работает, так как нетривиальные узлы как правило допускают более одного неупрощаемого прямоугольного представления.
Еще в 2003 г. Уильям Менэско указывал докладчику на связь прямоугольных диаграмм с лежандровыми узлами, но лишь недавно, в совместных работах с Максимом Прасоловым, нам удалось разобраться, как эффективно использовать эту связь. В частности, вопрос об описании неупрощаемых прямоугольных диаграмм оказался увязан с классификацией лежандровых узлов данного топологического типа.
Мы также расширили прямоугольный формализм на поверхности, что дало мощный инструмент для различения лежандровых узлов одного топологического типа. На сегодняшний день это часто представляет серьезную проблему даже для узлов с малым числом пересечений на плоской проекции (например, всего шесть).
В докладе будут даны все необходимые определения и сделан обзор указанных результатов.
Обратная связь: