Применение теории Галуа к оптимальному управлению

Многочленом Зеликина-Локуциевского назовем многочлен $f_n(x)$ с целыми коэффициентами степени $n-1$, определяемый следующим образом
$$ xf_n(x^2)=\mathrm{Im}\,(ix+1)\ldots(ix+2n). $$

Мы показываем, что многочлен $f_{(q-1)/2}(x)$ неприводим над $\mathbb Q$ для всех простых $q>3$. Мы вычисляем группу Галуа многочлена $f_n(x)$ в случае, когда числа $p=n-1$, $q=2n+1$, $r=2n+7$ являются простыми, а $889$ не квадрат по модулю $r$. Мы показываем, что в предположении неприводимости многочлена $f_{p+1}(x)$ над $\mathbb Q$ для почти всех простых $p$ существует бесконечная последовательность натуральных $n$, для которых $A_{n-1}$ вкладывается в $\mathrm{Gal}_{\mathbb Q}(f_n(x))$.
Пример: для любого натурального $k<808$ существует задача оптимального управления, в которой управление пробегает всюду плотную обмотку $k$-мерного тора за конечное время.