Формула Талалаева, квантование лагранжевых подмногообразий и соответствие Ленглендса

Гипотически каждому лагранжеву подмногобразию при квантовании должен отвечать левый идеал в квантовой алгебре функций. Будет рассказано как можно строить это соотвестветствие для Лиувиллевых торов интегрируемых систем и соответствующих им спектральных кривых. Ключевой конструкцией является формула Талалаева задающая «квантовую спектральнуюю кривую». «Квантовая спектральная кривая» является столь же эффективным инсрументом исследования квантовых интегриеруемых систем, сколь обычные спектральные кривые при изучении классических систем. Основные вопросы о квантовой системе — нахождение спектра и собственных функций. Оказывается, оба эти вопроса могут быть сведены к изучению «квантовой спектральной кривой» и тем самым эффективно решены во многих случаях. Одно из приложений теории «квантовой спектральной кривой» — явное построение геометрического соответствия Ленглендса (в формулировке Бейлинсона–Дринфельда). Если время позволит будут описаны и другие приложения (явное описание центра алгебр Каца–Муди на критическом уровне, рациональность решений уравнения Книжника–Замолодчикова, квантовые тождества Гамильтона-Кэли, Ньютона, Бете анзац, разделение переменных и др.), а также перспективы построения многомерного соответствия Ленглендса и связанные вопросы построения теории высших симлектических многообразий - многообразий с замкнутой $n$-формой (вместо 2-формы), высших связностей (потенциал связности — $(n-1)$-форма, кривизна — $n$-форма), $n$-представлений групп и $n$-категорий, интегрируемых систем, у которых вместо спектральных кривых — «спектральные многообразия размерности $n$».
Часть результатов описаны в работах Д. Талалаева и докладчика
http://arxiv.org/abs/hep-th/0607250
http://arxiv.org/abs/hep-th/0604128
http://arxiv.org/abs/hep-th/0404153