Максимизация второго собственного числа на проективной плоскости

Задача геометрической оптимизации собственных чисел оператора Лапласа - одна из самых классических задач спектральной геометрии, восходящая к Лорду Рэлею, продвижения в этой задаче даются нелегко и довольно редки. В недавней совместной работе с Н.Надирашвили мы доказали, что второе ненулевое собственное число на вещественной проективной плоскости площади 1 не превосходит 20pi, причем это значение может быть достигнуто как предел на последовательности метрик, сходящихся к метрике на касающихся проективной плоскости и сфере со стандартными метриками, такими, что площади проективной плоскости и сферы относятся как 3:2.