Асимптотические разложения и исследование мощности статистических критериев

В докладе приводятся результаты об асимптотических исследованиях в теории проверки гипотез. По выборке из $n$ независимых случайных величин с общим распределением $P_{\theta,\eta}$, $\theta \in R^1$, $\eta \in R^m$, $m\ge0$, проверяется гипотеза $H^0\colon\theta = \theta_{0}$ против односторонних альтернатив $H_t\colon\theta=\theta_{0} + t/\sqrt{n}$, $t>0$. Параметр $\eta$ наз. мешающим, его значение неизвестно и при построении критериев требуется скомпенсировать зависимость распределений статистик от $\eta$. При данных $t$ и $\eta$ по лемме Неймана–Пирсона можно построить наилучший (наиболее мощный, НМ) критерий проверки простой гипотезы $H_{0,\eta}$ против простой альтернативы $H_{t,\eta}$. Для каждых фиксированных $t$ и $\eta$ этот критерий имеет наибольшую возможную мощность, но его конструкция зависит от этих значений, что делает его непригодным для применения. Возможно, однако, построение асимптотически наиболее мощных (АНМ) критериев, конструкция которых не зависит от $t$ и $\eta$, а предельная мощность та же, как у НМ критерия. Было обнаружено, что мощности АНМ критериев отличаются одна от другой и от мощности НМ критерия на величину порядка $1/n$ (вместо ожидаемого $1/\sqrt{n}$) и изучение этих отличий потребовало разработки методов построения асимптотических разложений для распределений и функций мощности критериев. Полученные в этом направлении результаты составляют предмет доклада.