Задача Коши для волнового уравнения на однородном дереве и сингулярных пространствах постоянной кривизны. Распределение энергии

В докладе будет рассматриваться однородное дерево, т.е. бесконечное дерево, из корня которого выходит ровно одно ребро, а из любой другой вершины выходит b>1 ребер. Будет описан оператор Лапласа на однородном дереве и найден его спектр. Также будет рассмотрена задача Коши для волнового уравнения в случае, когда начальное условие локализовано на ребре дерева, выходящем из корня. Мы представим решение этой задачи и опишем распределение энергии волны, являющейся решением задачи Коши, при стремлении времени к бесконечности.
Также будут рассматриваться сингулярные пространства, т.е. топологические пространства, полученные отождествлением концов ребер графа с точками на многообразиях. Будут изучены два вида сингулярных пространств: первое состоит из трехмерного Евклидова пространства, к которому приклеен луч, а второе - из двух трехмерных Евклидовых пространств, соединенных отрезком. Оператор Лапласа на данных объектах определяется как самосопряженное расширение прямой суммы операторов Лапласа на многообразиях и ребрах, ограниченных на функции, которые зануляются в точках склейки. Для каждого самосопряженного расширения будет найдено решение задачи Коши для волнового уравнения в случае, когда начальное условие локализовано на ребре сингулярного пространства. Также мы опишем распределение энергии волны, являющейся решением задачи, при стремлении времени к бесконечности.