Преобразование Фурье-Мукаи для вейерштрассовых кубик и коммутирующие обыкновенные дифференциальные операторы

В докладе я расскажу о решении одной проблемы Превиато-Вилсона о характеризации спектральных пучков алгебр коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов.
Как известно, всякая нетривиальная коммутативная подалгебра ${\mathfrak{B}}$ в ${\mathfrak{D}}={\mathbb C}[[x]][\partial]$ конечно порождена и имеет размерность Крулля один. Аффинная кривая $X_0 = \mathsf{Spec}({\mathfrak{B}})$ допускает одноточечную компактификацию гладкой точкой $p$ до проективной кривой $X$. Кроме того, алгебра ${\mathfrak{B}}$ определяет когерентный пучок без кручения ${\mathcal{F}}$ на кривой $X$, характеризующийся следующими свойствами:
– Для любой точки $q \in X_0$ (регулярной или особой), соответствующей гомоморфизму алгебр ${\mathfrak{B}}\stackrel{\chi}\rightarrow {\mathbb C}$, имеются изоморфизмы векторных пространств
$$ {\mathcal{F}}\bigl|_{q}^\ast \rightarrow \bigl\{ f \in {\mathbb C}[[x]] \,|\, P \circ f = \chi(P)f \; \rm for all\; P \in {\mathfrak{B}} \bigr\}. $$
– Отображение вычисления $H^0(X, {\mathcal{F}}) \stackrel{\mathsf{ev}_p}\rightarrow {\mathcal{F}}\bigl|_{p}$ — изоморфизм, и $H^1(X, {\mathcal{F}}) = 0$.
Кривая $X$ (соответственно, пучок ${\mathcal{F}}$) называется спектральной кривой (соответственно, спектральным пучком) алгебры ${\mathfrak{B}}$. Ранг пучка без кручения ${\mathcal{F}}$ называется рангом ${\mathfrak{B}}$. Согласно теореме Кричевера [Krichever], всякая нетривиальная коммутативная подалгебра ${\mathfrak{B}}$ ранга один по существу определяется своими спектральными данными $(X, p, {\mathcal{F}})$. Классификация коммутативных подалгебр в ${\mathfrak{D}}$ более высокого ранга гораздо сложнее, хотя основные ингредиенты $(X, p, {\mathcal{F}})$ также фигурируют среди классифицирующих параметров. Эта классификация появилась в работах Кричевера [Krichever76, Krichever77, Krichever], и затем усовершенствовалась многими авторами: Дринфельдом, Мамфордом, Сигалом и Вилсоном, Вердье, Муласе и другими.
Полное описание алгебр рода 1 и ранга 2 было дано Кричевером и Новиковым [KN] для случая гладкой спектральной кривой. Нетрудно показать, что для любой (нормализованной) коммутативной подалгебры рода один и ранга два ${\mathfrak{B}} \subset {\mathfrak{D}}$ существуют два оператора $L, M \in {\mathfrak{B}}$, такие что ${\mathfrak{B}} = {\mathbb C}[L, M]$ и
\begin{equation}\label{E:AnsatzNew} L = \partial^4 + a_2 \partial^2 + a_1 \partial + a_0, \quad M = 2 L^{\frac{3}{2}}_+,\quad M^2 = 4 L^3 + g_2 L + g_3 \end{equation}
для некоторых $g_2, g_3 \in {\mathbb C}$. Здесь оператор $L^{\frac{3}{2}}$ берется в алгебре псевдо-дифференциальных операторов ${\mathbb C}[[x]](( \partial^{-1}))$, и $L^{\frac{3}{2}}_+$ — проекция $L^{\frac{3}{2}}$ на ${\mathfrak{D}}$. Описание всех возможных операторов $L$ вида (\ref{E:AnsatzNew}), удовлетворяющих ограничению $[L, M] = 0$ для $M = 2 L^{\frac{3}{2}}_+$ было получено Грюнбаумом в [Grun]; в частности, им были получены явные формулы компактного вида для коэффициентов $a_0, a_1$ и $a_2$. Возникает естественный вопрос:
Проблема. Как вычислить пучок ${\mathcal{F}}$ алгебры ${\mathfrak{B}} = {\mathbb C}[L, P]$ рода один и ранга два в терминах коэффициентов $a_0, a_1$ и $a_2$?
Превиато и Вилсон дали исчерпывающий ответ на этот вопрос в случае гладкой кривой $X$ \cite[Theorem 1.2]{PrW}.
Та же проблема для особых кривых оказывается эффективно разрешимой с помощью преобразования Фурье-Мукаи на вейерштрассовых кубиках. Кроме вычисления спектральных пучков, оказывается возможным получить описание прямых образов пучков без кручения на рациональных особых кривых.
Доклад основан на одноименной работе с Игорем Бурбаном.
[Grun] F. Grünbaum, Commuting pairs of linear ordinary differential operators of orders four and six, Phys. D 31 (1988), 424–433.
[Krichever76] I. Krichever, An algebraic–geometric construction of the Zakharov–Shabat equations and their periodic solutions, Dokl. Akad. Nauk SSSR 227 (1976), no. 2, 291––294.
[Krichever77] I. Krichever, Methods of algebraic geometry in the theory of nonlinear equations, Uspehi Mat. Nauk 32 (1977), no. 6 (198), 183–208, 287.
[Krichever] I. Krichever, Commutative rings of ordinary linear differential operators, Func. Anal. Appl. 12 no. 3 (1978), 175–185.
[KN] I. Krichever, S. Novikov, Holomorphic bundles over algebraic curves and nonlinear equations, Russian Math. Surveys, 35:6 (1980), 47–68.
[PrW] E. Previato, G. Wilson, Differential operators and rank 2 bundles over elliptic curves, Compositio Math. 81 (1992), 107–119.