Решение гипотезы Благоевича–Груича–Живалевича о симметрических степенях компактных Римановых поверхностей с проколами

Доклад основан на недавнем arXiv препринте автора arxiv.org/abs/1606.00453. Будет рассказано о полученном автором решении гипотезы Благоевича–Груича–Живалевича 2003 г.
Пусть $M_{g,k}$ и $M_{g',k'}$ — две компактные Римановы поверхности с проколами ($g,\,g'\geqslant0$ — рода, $k,\,k'\geqslant1$ — количество проколов). Для любого Хаусдорфова пространства $X$ его $n$-я симметрическая степень $Sym^n X$ — это фактор-пространство $X^n/S_n$.
Топологическое пространство $Sym^n M_{g,k}$ обладает естественной структурой $n$-мерного открытого комплексного многообразия. Открытые многообразия $Sym^n M_{g,k}$ и $Sym^n M_{g',k'}$ гомотопичеки эквивалентны iff $2g+k=2g'+k'$ (это простой факт).
Гипотеза (Б-Г-Ж, 2003) Если $2g+k=2g'+k'$ и $g\ne g'$, то для любого $n\geqslant2$ открытые многообразия $Sym^n M_{g,k}$ и $Sym^n M_{g',k'}$ негомеоморфны.
Эта гипотеза была доказана в работе Б-Г-Ж 2003 года в случае $n\leqslant2\max\{g,g'\}$ (в этом случае у данных многообразий разные $n$-е числа Бетти на бесконечности). Случай $n>2\max\{g,g'\}$ оставался открытым до указанного выше препринта автора.
Подход к решению гипотезы в общем случае состоит из двух частей:
(1) Классическая теорема Тома 1952 года о топологической инвариантности классов Штифеля–Уитни открытых гладких многообразий.
(2) Вычисления класса $w_2$ данных многообразий, основанное на знаменитой теореме Макдональда 1962 года о строении целочисленного кольца когомологий симметрических степеней компактных Римановых поверхностей без проколов (в том числе явная формула для классов Черна этих замкнутых комплексных многообразий).