$HR$-локализация и $HR$-длина группы

Понятие $R$-локализации Боусфилда — Кана пространства необходимо для того, чтобы работать с пространствами с точностью до $R$-гомологической эквивалентности. $R$-локализацию легко описать для односвязных пространств. Но для пространств с нетривиальной фундаментальной группой теория значительно сложнее. Фундаментальные группы получающихся пространств очень сложны, но их можно описать на чисто теоретико-групповом языке при помощи понятия $HR$-локализации группы. Явная конструкция $HR$-локализации группы $G$ использует трансфинитный процесс, который останавливается на некотором ординале. Этот ординал называется $HR$-длиной группы $G$. На докладе я напомню основные результаты этой теории и наши результаты, полученные совместно с Романом Михайловым. А именно, будет рассказано, как вычислять $HR$-локализацию метабелевой конечно представимой группы, если $R$ — поле, и как оценить $H\mathbb Z$-длину свободной группы.