О линейных подпространствах в $P^n$, вполне инвариантных относительно эндоморфизмов

Пусть $f$ — эндоморфизм $P^n$ степени больше 1. Назовем алгебраическое подмножество $V\subset P^n$ вполне инвариантным относительно $f$, если $f^{-1}(V)=V$. Бриен, Канта и Шишикура недавно заметили, что неприводимое вполне инвариантное подмножество относительно любого эндоморфизма — линейное подпространство. Возникает естественный вопрос: как много таких подпространств может допускать один эндоморфизм. Очевидно, что максимально возможное число таких $V$ коразмерности 1 равно $n+1$. Я расскажу о совместной работе с Ф. Кампана, где оценивается сверху число вполне инвариантных подпространств коразмерности 2. Полученная оценка, впрочем, не оптимальная: например, для точек в $P^2$ получается оценка 9, в то время как во всех известных примерах вполне инвариантных точек не больше трех.