Экстремальная комбинаторика в больших группах: вероятностные аспекты

Знаменитая теорема Рота утверждает, что наибольший размер $f(N)$ подмножества без 3-прогрессий в множестве $\{1,2,\dots,N\}$ — или, что почти то же самое, в циклической группе порядка $N$, — есть $o(N)$ (позднее Семереди доказал то же для множеств, свободных от прогрессий любой фиксированной длины.) Конструкция Беренда показывает, что, тем не менее, $f(N)\gg N^{a}$ при любом $a<1$. В недавней замечательной работе Эрни Крута, Всеволода Льва и Питера Паха было показано, что для группы $C_4^n$ степенная верхняя оценка имеет место, вскоре это было обобщено на все абелевы группы ограниченного показателя (произведения большого числа малых циклических групп.) Скрытая причина этого явления — закон больших чисел (концентрация меры в прямых произведениях.) Я хотел бы обсудить результаты и вопросы этой бурно развивающейся прямо сейчас области.