Теория $(2n,k)$-многообразий и проблема структуры канонического действия тора $T^k$ на многообразиях Грассмана комплексных подпространств в $\mathbb{C}^{k+1}$

Квазиторические многообразия [B-Pan-15] представляют собой $2n$-мерные гладкие вещественные многообразия с эффективным действием компактного $n$-мерного тора таким, что структура многообразия $M^{2n}$ полностью восстанавливается по пространству орбит $M^{2n}/T^n=P^n$, представляющему собой простой многогранник $P^n$, и характеристической функци $\chi$, заданной на множестве гиперграней $F_1,\ldots,F_m$ многогранника $P^n$.
Доклад посвящен результатам о $(2n,k)$-многообразиях, полученным совместно с В.М.Бухштабером. На этих многообразиях, как и выше, имеется эффективное действие тора $T^k$, где $k\leqslant n$. В случае $k=n$ мы получаем квазиторические многообразия. В общем случае у этих многообразий имеется отображение моментов $\mu \colon M^{2n} \to \mathbb{R}^k$, образом которого является непростой выпуклый многогранник.
Нашей основной целью было существенное расширение класса многообразий с действием компактного тора, для которых, как и в случае квазиторических многообразий, можно восстановить структуру многообразия по структуре пространства орбит действия и некоторой характеристической функции.
Мы вводим понятие комплекса допустимых многогранников для данного действия тора $T^k$ на $M^{2n}, \; k\leqslant n$ и задаем характеристическую функцию на этом комплексе.
Задача описания структуры действия тора $T^n$ на комплекном многообразии Грассмана $G_{n,k}$ широко известна. К ней приводит ряд вопросов актуальных разделов современной математики. Эта задача полностью решена в случае $G_{4,2}$ [B-Terz-16]. В общем случае $G_{n,k}$ она оказалась трудной проблемой и является одним из ключевых стимулов для построения теории $(2n,k)$-многообразий.
[B-Pan-15] V. M. Buchstaber, T. E. Panov,  Toric Topology, Mathematical Surveys and Monographs, v. 204, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015; 518 pp.
[B-Terz-16] V. M. Buchstaber, S. Terzić,  \emph{Topology and geometry of the canonical action of $T^4$ on the complex Grassmannian $G_{4,2}$ and the complex projective space $\mathbb{C}P^5$.}, Moscow Math. J., Vol, 16, Issue 2, 2016, 237–273.