Интегрируемые топологические биллиарды и эквивалентные динамические системы

В докладе будет рассмотрен ряд топологических интегрируемых биллиардов и доказана их лиувиллева эквивалентность многим системам динамики твердого тела с помощью теории Фоменко-Цишанга об инвариантах интегрируемых систем. Будут рассмотрены интегрируемые биллиарды, ограниченные дугами софокусных квадрик, а также их обобщения – обобщенные биллиарды, где движение происходит по локально-плоской поверхности, полученной изометричной склейкой нескольких плоских областей вдоль их границ, являющихся дугами софокусных квадрик.
Будут показаны конструкции двух новых классов интегрируемых биллиардов, также ограниченных дугами софокусных квадрик, а именно, некомпактные биллиарды и обобщенные биллиарды, полученные склейкой плоских биллиардов вдоль невыпуклых частей границы. Для некомпактных биллиардов, ограниченных дугами софокусных квадрик, будет представлена их полная грубая Лиувиллева классификация с помощью инвариантов Фоменко, описывающих перестройки особых слоёв дополнительного интеграла. Исследована топология изоэнергетических поверхностей некоторых невыпуклых обобщенных биллиардов: оказалось, что они обладают экзотическими слоениями Лиувилля, а именно, на некоторых особых слоях интегральные траектории биллиарда не допускают непрерывного продолжения. Оказалось, что такие биллиарды послойно эквивалентны биллиардам, ограниченным дугами софокусных квадрик в метрике Минковского.