Числа Бетти и абсолютно трианалитические подмногообразия гиперкэлеровых многобразий

Гиперкэлерово многообразие – это риманново многообразие с тройкой согласованных с метрикой комплексных структур, удовлетворяющих кватернионным соотношениям, кэлеровы формы которых замкнуты. Согласно теореме Богомолова любое компактное гиперкэлерово многообразие накрывается произведением торов и простых (т.е. с группой голономии ровно Sp(n)) гиперкэлеровых многообразий. Собственно примеров простых гиперкэлеровых многообразий известно очень мало – в размерностях больших 4 это две серии (схемы Гильберта от K3 и обобщённое многообразие Куммера) и два спорадических примера О'Грэди. Гипотеза Бовилля утверждает, что в каждой размерности с точностью до деформации простых гиперкэлеровых многообразий конечное число. В более слабой формулировке гипотеза утверждает, что все числа Бетти ограниченны. В случае комплексной размерности четыре это доказал Гуан. Я расскажу про обобщения его результатов в больших размерностях. В частности, про неравенства на числа Бетти, следующие из инвариантов Розанского-Виттена. Во второй части доклада я расскажу про абсолютно трианалитические подмногообразия (т.е. комплексно-аналитические относительно любой тройки комплексных структур из твисторного семейства). Ранее в работах Вербицкого, Каледина и Солдатенкова было доказано, что в схемах Гильберта от K3 и многообразиях О'Грэди нет нетривиальных абсолютно трианалитических подмногообразий, в частности торов. В случае обобщённых многообразий Куммера есть пример абсолютно трианалитического подмногообразия, деформационно эквивалентного схеме Гильберта от K3 в два раза меньшей размерности, но других примеров неизвестно. В своём докладе я расскажу, почему в обобщённых многообразиях Куммера также нет торов.