Системы Гаусса–Манина

В первом докладе запланированного семинара обсуждается подход к изучению теории систем Гаусса–Манина (или систем дифференциальных уравнений Пикара–Фукса), основанный на систематическом использовании понятия логарифмической дифференциальной формы. Рассмотрим семейство алгебраических многообразий, зависящих от параметров деформации. Наиболее важным известным примером такого рода семейства является алгебраическая функция, зависящая от коэффициентов алгебраического уравнения. Интеграл периодов (который реализует каноническое спаривание между циклом гомологии и базисом коциклов в когомологии), ассоциированный с алгебраическим многообразием из такого семейства, можно интерпретировать как ветвящуюся функцию, зависящую от параметров деформации. Оказывается, что в ряде важных случаев интегралы периодов удовлетворяют некой системе Пфаффа (т.е. системе Гаусса–Манина) с коэффициентами в модуле мероморфных дифференциальных форм с логарифмическими полюсами вдоль дискриминантного множества, лежащего в пространстве параметров деформации.