Введение в теорию сумм произведений

Пусть A － произвольное конечное множество целых чисел. Рассмотрим сумму и произведение A с собой, а именно, множества
A+A := { c=a+b : a, b \in A } и AA := { c=ab : a, b \in A }.
Существуют множества с малой суммой, например, арифметические прогрессии : P={1,…,n}, |P+P| = 2n-1. Аналогично, геометрическая прогрессия G={2,22, …, 2n } имеет малое произведение: |GG| = 2n-1. Гипотеза сумм произведений утверждает, что не существует множеств, имеющих, одновременно, малую сумму и произведение, а именно, для произвольного ε>0 и любых достаточно больших множеств A всегда выполнено
max{ |A+A|, |AA| } \ge |A|2-ε.
Неравенство выше до сих пор не доказано, но даже частичный прогресс в данной области уже привел к существенному продвижению в задачах теории чисел, аддитивной комбинаторики, криптографии, теории динамических систем. В нашем докладе мы расскажем об этой замечательной области математики.