Структура и К-теория групп Шевалле над кольцами

В докладе будет дан обзор state of the art и недавних замечательных результатов Петербургской школы по структурной теории и алгебраической К-теории групп Шевалле над произвольными коммутативными кольцами.
После необходимых напоминаний будут даны формулировки и описаны методы, позволяющие доказать результаты о нормальном и субнормальном строении групп Шевалле, стандартных коммутационных формулах, нильпотентности $K_1$ и т.д.
Одной из несомненных вершин этого направления на уровне $K_1$ являются результаты Алексея Степанова об ограниченности ширины коммутаторов в элементарных образующих. Для доказательства этих результатов он развил новый вариант локализационных методов, служащий дальнейшим развитием локально-глобального принципа Квиллена–Суслина и метода локализации пополнения Бака.
В самое последнее время Андрей Лавренов и Сергей Синчук частично обобщили эти методы на уровень $K_2$. В частности, им получить почти полное решение одной из важнейших проблем алгебраической К-теории, проблемы центральности $K_2$. До их работ этот замечательный результат был известен только в линейном случае, где он был получен в 1978 году Вильбердом ван дер Калленом и Маратом Туленбаевым. Решение в общем случае потребовало несколько замечательных новых идей.
В конце доклада планируется рассказать об аналогичных результатах для групп точек достаточно изотропных редуктивных групп, над чем в настоящее время работают Анастасия Ставрова, Виктор Петров, Александр Лузгарев и другие. Эта теория была бы обобщением теории Бореля–Титса редуктивных групп над полями, в ситуацию групп над произвольной базой. Планируется упомянуть также возможные бесконечномерные обобщения.