Эргодическая теория на $SL(n)$, диофантовы приближения и подсчет числа точек решеток в многогранниках

Мы показываем, что проблема подсчета числа точек решетки в многограннике может быть сведена к совместным диофантовым приближениям для систем линейных форм. В свою очередь, эти диофантовы задачи могут быть интерпретированы в терминах определенных потоков на однородных пространствах $SL(n,R)/SL(n,Z)$. В результате, мы выводим из эргодических теорем для полупростых групп, что для любого расширяющегося многогранника проблема подсчета числа точек решетки имеет логарифмически малый остаток для почти всех решеток. Также даются приложения этого результата к полям алгебраических чисел, теории равномерных распределений и спектральной теории.