Операторные поля Нийенхейса, особые точки, линеаризация и топологические препятствия к их существованию

Полем Нийенхейса называется операторное поле, кручение Нийенхейса которого равно нулю. Такого рода поля возникают в геометрии (как римановой, так и комплексной), а также в теории интегрируемых систем, где собственные значения таких полей дают набор коммутирующих первых интегралов (схема Ленарда-Магри). Наконец, этот тензор активно используется для разделения переменных. Автором было установлено, что особые точки поля Нийенхейса обладают естественной структурой левосимметрической алгебры. Такие алгебры изучались Винбергом применительно к задаче классификации левоинвариантных связностей, а также играют важную роль в самых разных приложениях. На основе этого подхода (и классический идей линеаризации скобки Пуассона) удалось в двумерном случае построить содержательную теорию линеаризации поля Нийенхейса. В ходе работы была получена классификация двумерных вещественных левоинвариантных алгебр. На основе представления о невырожденных особых точках удалось сформулировать топологические препятствия к существованию полей с невырожденными изолированными особыми точками. В частности, таким образом удалось получить результат Матвеева об отсутствии проективно-эквивалентных метрик на двумерных компактных многообразиях с положительной эйлеровой характеристикой.