Поиск решений линейных дифференциальных систем произвольного порядка с формальными рядами в роли коэффициентов

Рассматриваются задачи построения лорановых, регулярных и экспоненциально-логарифмических решений линейных обыкновенных дифференциальных систем полного ранга. Система может иметь произвольный порядок. Предполагается, что коэффициентами систем являются формальные степенные ряды, заданные алгоритмически. Показывается, что первые две из названных задач построения решений алгоритмически разрешимы, третья — нет. Можно указать ограниченный вариант третьей задачи, для которого требуемый алгоритм существует: если заданные система S и неотрицательное целое d таковы, что для S гарантировано существование d линейно независимых решений, то мы можем построить d таких решений. Показывается также, что многие алгоритмические задачи, связанные с показателями ветвления решений заданной системы, неразрешимы, даже если предполагаемое значение r показателя ветвления фиксировано. Это, в частности, позволяет усилить утверждение, что мы не можем вычислить размерность пространства всех экспоненциально-логарифмических решений системы, хотя и способны построить базис подпространства регулярных решений. Фактически же не существует алгоритма, который вычисляет эту размерность даже в том случае, когда кроме самой системы заранее известен список всех показателей ветвлений экспоненциально-логарифмических решений этой системы. Обнаруживается и разрешимая задача: если заданные система S и неотрицательные целые r, d таковы, что для S гарантировано существование d линейно независимых решений с показателем ветвления r, то мы можем построить d таких решений системы S.