Комбинаторика триангулированных многообразий и многочлены объема мультивееров

Каждому симплициальному комплексу можно сопоставить его $f$-вектор, то есть набор чисел $(f_0,f_1,f_2,\ldots)$, где $f_j$ — число $j$-мерных симплексов комплекса. Возникает естественная комбинаторная задача: описать все возможные $f$-векторы триангуляций заданного многообразия, или хотя бы описать некоторые их свойства. Вместо $f$-вектора удобнее использовать $h$-вектор, несущий ту же информацию о комбинаторике триангуляции. В 70-х годах возникла теория алгебр Стенли–Райснера, позволившая перевести исходную комбинаторно-топологическую задачу на алгебраический язык.
Наиболее впечатляющие результаты эта теория дала для триангулированных сфер: с ее помощью сразу удалось доказать гипотезу о неотрицательности $h$-чисел сфер и гипотезу о верхней границе. Алгебраическая теория для триангуляций произвольных многообразий оказалась более сложной и обрела относительно завершенный вид в работах Новик и Шварца 2009-го года. Они построили фактор-алгебру алгебры Стенли–Райснера триангулированного многообразия, являющуюся алгеброй с двойственностью Пуанкаре, и выразили размерности ее градуированных компонент через h-вектор и числа Бетти многообразия.
В докладе будут рассказаны необходимые подробности и, насколько позволит время, описаны алгебры Новик–Шварца в терминах дифференциальных операторов и многочленов объема мультивееров.