Критерий гладкости в бесконечности арифметического фактора трубы будущего (по совместной работе с О. В. Шварцманом)

Пусть $V$ — $n$-мерное пространство Минковского и $K\subset V$ — конус будущего. Трубой будущего называется область $T=V+iK$ в комплексификации пространства $V$. В этой области действует группа аффинных преобразований (группа Пуанкаре) $P$, являющаяся полупрямым произведением группы $V$ вещественных параллельных переносов и группы Лоренца $\mathrm{O}(V)$. Труба будущего является моделью эрмитова симметрического пространства $D$ группы $\mathrm{O}(2,n)$ — симметрической области типа IV в классификации Картана.
Арифметической группой в трубе будущего называется дискретная подгруппа $\Gamma$ группы $P$, для которой объём факторпространства $P/\Gamma$ конечен. Всякая арифметическая группа содержит решётку $L$ в пространстве $V$; факторгруппа $\Gamma / L$ есть дискретная группа движений $(n-1)$-мерного пространства Лобачевского.
Для заданной арифметической группы $\Gamma \subset P$ факторпространство $T / \Gamma$ (являющееся аналитическим пространством) каноническим образом вкладывается в пространство Штейна $(T / \Gamma)^*$ путём добавления одной точки и конечного числа комплексных кривых, изоморфных верхней полуплоскости. В том случае, когда группа $\Gamma$ является параболической подгруппой арифметической группы $\Delta \subset \mathrm{O}(2,n)$, это вложение, грубо говоря, является частью компактификации Сатаке–Бейли–Бореля факторпространства $D / \Delta$.
Основной результат состоит в том, что пространство $(T / \Gamma)^*$ неособо тогда и только тогда, когда группа $\Gamma$ порождается комплексными отражениями и фундаментальный многогранник группы $\Gamma / L$ (которая в этом случае автоматически порождается вещественными отражениями в пространстве Лобачевского) является симплексом (что возможно только при $n<11$). В качестве гипотезы это было высказано в работе О. В. Шварцмана в 1985 г.
Как следствие отсюда получается следующее утверждение: если $\Delta$ — арифметическая подгруппа группы $\mathrm{O}(2,n)$, для которой факторпространство $D / \Delta$ некомпактно (но имеет конечный объём), то алгебра автоморфных форм $A(D, \Delta)$ может быть свободна только при $n<11$.