Теорема о перископе (cовместная работа с С.Л. Табачниковым и Д.В. Трещёвым)

Рассматривается схема отражений, при которой параллельный пучок световых лучей в направлении z, после нескольких отражений от (возможно, кривых) зеркал, в итоге превращается в другой параллельный пучок в том же направлении. Исходный и конечный пучки проецируются на области А и В на плоскости xy (каждый луч проецируется в точку). Последовательность отражений пучка лучей индуцирует диффеоморфизм областей А и В.
Данные схемы отражений действительно возможны; в частности, с помощью отражений от двух плоских зеркал можно реализовать сдвиг, а с помощью отражений от двух кусков софокусных и соосных параболоидов вращения можно реализовать гомотетию областей. Рассматривается вопрос, какие диффеоморфизмы плоских областей могут быть реализованы таким образом, и какое наименьшее количество зеркал и отражений требуется для такой реализации.
Мы доказываем, что диффеоморфизм может быть реализован с помощью 2 отражений, если и только если он является градиентом некоторой функции. Далее, любой диффеоморфизм может быть реализован с помощью 4 или 6 отражений (если он обращает или сохраняет ориентацию, соответственно). Мы полагаем, что последний результат не является окончательным. Обсуждаются возможные обобщения этой задачи.