Многогранные поверхности с заданным набором направлений граней и эллиптичность функционалов площади (по результатам совместной работы с Д. Бураго)

Пусть в $n$-мерном евклидовом пространстве задано конечное множество $S$ ориентированных $k$-мерных линейных подпостранств. При каких условиях можно построить $k$-мерную кусочно-линейную ориентированную поверхность $M$, почти все грани которой (то есть все грани, кроме множества сколь угодно малой площади) параллельны элементам $S$, и при этом край $M$ лежит в $k$-мерном подпространстве? Этот вопрос двойственен одной старой задаче геометрической теории меры — характеризации эллиптичных по Альмгрену функционалов $k$-мерной площади. Недавно обнаружились связи и с другими областями. Задача становится нетривиальной начиная с размерностей $n=4$ и $k=2$. В докладе будет рассказано, откуда взялась эта задача, с чем она связана, ее решение для приведенного выше варианта формулировки (который соответствует т.н. эллиптичности над $\mathbf R$), и о неожиданных нелинейных ограничених, возникающих в другом варианте (соответствующем эллиптичности над $\mathbf Z$).