Нильпотентные подпространства и нильпотентные орбиты (совместная работа с О. Якимовой)

Пусть $G$ –– полупростая алгебраическая группа и $B$ –– фиксированная борелевская подгруппа. Пусть $O$ –– нильпотентная орбита в $\mathfrak g = \mathrm{Lie}(G)$, и пусть $V$ –– подпространство, лежащее в замыкании $O$. Будет показано, что $\dim V$ не превосходит половины $\dim O$. Более того, если $\dim V=(\dim O) / 2$, то $O$ –– ричардсоновская орбита, и если $V$ также $B$-инваринатно, то $V$ –– это нильрадикал поляризации $O$. Это можно трактовать как обобщение классического результата Герстенхабера для $G = \mathrm{SL}(n)$ (1962 г.). Для любой нильпотентной орбиты $O$ можно указать каноническое $B$-инвариантное подпространство, лежащее в замыкнии $O$, так называемый "дынкинский идеал". Будет также дана классификация орбит $O$, для которых дынкинский идеал
(1) имеет наименьшую размерность среди всех $B$-инвариантных подпространств в замыкании $O$
или
(2) является единственным $B$-инвариантным подпространством в замыкании $O$.