О локальном полукруговом законе для вигнеровских матриц

Пусть случайные величины $X_{jk}$ для $1\le j\le k$ независимы и имеют нулевое среднее и единичную дисперсию. Мы рассмотрим последовательность симметричных матриц $\mathbf W=\frac1{\sqrt n}(W_{jk})_{j,k=1}^n$, где $W_{jk}=W_{kj}=X_{jk}$ для $1\le j\le k\le n$. Обозначим $\lambda_1\le\cdots\lambda_n$ упорядоченные по возрастанию собственные числа матрицы $\mathbf W$. Определим также эмпирическую спектральную меру распределения матрицы $\mathbf W$ равенством
\begin{equation} \mu_n(B)=\frac1n\#\{j:1\le j\le n, \lambda_j\in B\} \end{equation}
для любого борелевского $B$. Полукруговым законом называют меру порожденную плотностью
$$ g(x)=\frac1{2\pi}\sqrt{4-x^2}\mathbb I\{|x|\le2\}, $$
где $\mathbb I\{|x|\le2\}$ означает индикатор события $\{|x|\le2\}$. Нас будет интересовать аппроксимация меры $\mu_n$ полукруговым законом на интервалах $I_n$, когда $|I_n|\to 0$ при $n\to\infty$. Более точно, нас будет интересовать случай, когда $|I_n|=O(n^{-1}\log^{\beta_n}n)$, где $\beta_n=O(1)$. Будет приведен обзор результатов, полученных в последнее время совместно Ф. Гётце и А. Наумовым и представленных в работах [GotzeNauTikh2016], [GotzeNauTikh2015a], [GotzeNauTikh2015b], [GotTikh2015].
\def\polhk#1{\setbox0=#1{\ooalign{\hidewidth \lower1.5ex\hbox¿\hidewidth\crcr\unhbox0}}} \begin{thebibliography}{10}
\bibitem{GotzeNauTikh2016} Friedrich Götze, Alexey Naumov, Alexander Tikhomirov. \newblock On the Local Semicircular Law for Wigner Ensembles. \newblock arXiv:1602.03073.
\bibitem{GotzeNauTikh2015a} Friedrich Götze, Alexey Naumov, Alexander Tikhomirov. \newblock Local semicircle law under moment conditions. {P}art {I}: The {S}tieltjes transfrom. \newblock arXiv:1510.07350.
\bibitem{GotzeNauTikh2015b} F. Götze, A. Naumov, and A. Tikhomirov. \newblock Local semicircle law under moment conditions. {P}art {II}: Localization and delocalization. \newblock arXiv:1511.00862. \bibitem{GotTikh2015} F. Götze and A. Tikhomirov. \newblock Optimal bounds for convergence of expected spectral distributions to the semi-circular law. \newblock Probability Theory and Related Fields, pages 1–71, 2015.
\end{thebibliography}