Исследование экстремалей некоторых задач о максимизации длины пути материальной точки в среде с сопротивлением

Доклад посвящен исследованию экстремалей некоторых задач о максимизации дистанции, пройденной материальной точкой в среде с сопротивлением под действием постоянной силы тяжести. Исследуемые задачи получены упрощением уравнений движения классической задачи о подъеме ракеты (задача Годдарда), проведенным таким образом, чтобы облегчить анализ условий принципа максимума, сохранив при этом ключевую особенность траекторий исходной задачи, а именно наличие особого участка.
Рассматриваются следующие варианты задач:
1) задача на фиксированном отрезке времени при наличии нелинейного сопротивления в отсутствие силы тяжести (горизонтальное движение);
2) задачи на свободном или ограниченном отрезке времени при наличии как сопротивления, так и силы тяжести;
3) задача на фиксированном отрезке времени при наличии сопротивления и силы тяжести.
Поскольку на скорость движения точки не накладывается фазовых ограничений, а время движения может быть фиксировано, то, в отличие от классической задачи Годдарда, вдоль экстремали могут чередоваться участки "подъема’’ и "падения’’.
В ходе исследования описаны все возможные типы экстремалей. Показано, что в случае нефиксированного времени структура экстремали соответствует структуре экстремали в задаче Годдарда (максимальная тяга – особый режим – отключение тяги). Для всех случаев приведены алгоритмы вычисления точек переключения.