Гипотеза кузнечных мехов для изгибаемых многогранников в неевклидовых пространствах

Изгибаемый многогранник в n-мерном пространстве – это многогранная (n-1)-мерная поверхность, допускающая деформацию (изгибание), в процессе которой комбинаторный тип поверхности остаётся неизменным, её (n-1)-мерные грани остаются конгруэнтными себе, а двугранные углы при (n-2)-мерных гранях изменяются непрерывным образом. При этом представляют интерес как вложенные, так и самопересекающиеся изгибаемые многогранники. Примеры изгибаемых многогранников (в размерностях 3 и выше) строить не очень просто. Достаточно сказать, что, несмотря на то, что самопересекающиеся изгибаемые октаэдры – так называемые октаэдры Брикара – известны ещё с конца 19-го века, первый пример вложенного изгибаемого многогранника в трёхмерном пространстве был построен Р. Коннелли только в 1977 году, а первые примеры (самопересекающихся) изгибаемых многогранников в пространствах размерностей 5 и выше были построены докладчиком только в 2015 году.
В конце 1970-х была выдвинута гипотеза, что объём любого изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибаения. Сейчас эта гипотеза известна как гипотеза кузнечных мехов. Одним из наиболее ярких достижений в теории изгибаемых многогранников стало доказательство И.Х. Сабитовым в 1996 году этой гипотезы для изгибаемых многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве (первоначально гипотеза была выдвинута Р. Коннелли именно для этого случая). Гипотеза кузнечных мехов для евклидовых пространств старших размерностей была доказана докладчиком в 2012 году.
В докладе будет я постараюсь рассказать о своих более свежих результатах по гипотезе кузнечных мехов, а именно, о том, как гипотеза кузнечных мехов доказывается для ограниченных изгибаемых многогранников в нечётномерных пространствах Лобачевского и для изгибаемых многогранников с достаточно малыми длинами рёбер в сферических пространствах и пространствах Лобачевского всех размерностей. Доказательства основаны на изучении свойств аналитического продолжения функции объёма изгибаемого многогранника на комплексификацию его конфигурационного пространства.