Одномерное релятивистское броуновское движение: полумарковский подход

Рассматривается процесс, равный интегралу от случайного процесса $X(t)$ $(t\ge0)$ со значениями из интервала $(-c,c)$. В приложении к релятивистскому броуновскому движению величина $c$ представляет собой скорость света, $X(t)$ — одномерная скорость броуновской частицы и $J(t)\equiv \int_0^t X(s)\,ds$ — одномерное релятивистское броуновское движение. Давно замечено, что процесс $J(t)$ обладает всеми качественными признаками физического броуновского движения, если предположить, что $X(t)$ — стационарный марковский диффузионный процесс на заданном интервале с недостижимыми границами (последняя из известных мне работ на эту тему — эта работа Э.А. Курьяновича (2015), МИАН, отделение математической физики). В моей работе применяется полумарковский метод исследования процесса $J(t)$, при котором не используются марковские свойства исходного процесса. Взамен этого я использую свойство марковской регенерации процесса относительно моментов первого выхода из открытых множеств. Естественно в данном случае рассматривать в качестве исходного процесса полумарковский процесс диффузионного типа. Пусть $X^+(t)\equiv \max\{0,X(t)\}$, $X^-(t)\equiv \min\{0,X(t)\}$, $J^+(t)\equiv \int_0^t X^+(s)\,ds$, \quad $J^-(t)\equiv \int_0^t X^-(s)\,ds$. Рассматривается положительный аддитивный функционал $A(t)=\alpha t+\lambda J^+(t)+\mu(-J^-(t))$, где $\alpha,\, \lambda,\, \mu \ge0$, и трёхмерное преобразование Лапласа от компонентов этого функционала, заданного на случайном интервале $(0,\sigma(a,b))$ относительно меры $P_x$, где $-c<a<x<b<c$ и $\sigma(a,b)$ — момент первого выхода исходного процесса из интервала $(a,b)$. Выводится дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют функции
$$G_{(a,b)}(x)\equiv E_0(\exp(-A(\sigma(a,b));\,X(\sigma(a,b))=a,$$

$$H_{(a,b)}(x)\equiv E_0(\exp(-A(\sigma(a,b));\,X(\sigma(a,b))=b).$$
В терминах этих функций определяются моменты распределения приращений функционала $A(t)$ в точках регенерации $\tau_r$ этого случайного процесса. Точки $\tau_r$ представляют собой марковские моменты, равные длинам так называемых расширенных экскурсий (порядка $r$) процесса относительно нулевого уровня:
$$\tau_r\equiv \nu_r+\overline{\sigma}_0\circ\theta_{\nu_r}\quad (0<r<c) ,$$
где $\nu_r$ — момент первого выхода из интервала $(-r,r)$, $\overline{\sigma}_0$ — момент первого достижения нуля, $\theta_{t}$ — оператор сдвига. Доказано представление величины $E_0\exp(-A(\tau_r))$ в терминах некоторого мультипликативного функционала, а также свойство независимости компонентов $J^+(\tau_r)$ и $J^+(\tau_r)$ относительно меры $P_0$.