Дискретизация комплексного анализа

Я сделаю небольшой обзор существующих подходов к построению дискретных аналогов голоморфных функций на комплексной плоскости и расскажу о нашем совместном подходе с С.П.Новиковым. Речь в основном пойдет о функциях на двумерных решетках. При дискретизации условий Коши–Римана может возникать эффект удвоения размерности — дискретных голоморфных функций оказывается "вдвое больше", чем хотелось бы. При нашем подходе этого эффекта нет за счет того, что мы рассматриваем вещественные функции на решетке, но возникает другая проблема — нет естественного оператора умножения на мнимую единицу. Недавно я заметил, что для большого класса дискретных голоморфных функций эта проблема устраняется, умножение на $i$ определяется канонически требованием инвариантности относительно сдвигов на векторы решетки.