Объединяющие теоремы в алгебраической геометрии над алгебраическими системами

Очень часто отношения между множествами элементов данной алгебраической системы $\mathcal A$ могут быть описаны в терминах уравнений над $\mathcal A$. В наиболее классическом случае, когда $\mathcal A$ поле, область математики, изучающая такие отношения, называется алгебраической геометрией. Это же название естественно использовать и в общем случае. Алгебраическая геометрия над произвольными алгебраическими системами является новой областью современной алгебры, однако в ней есть уже ряд существенных продвижений. Известны общие результаты, верные в алгебраических геометриях над произвольными алгебраическими системами. Мы будем называть их универсальной алгебраической геометрией. Исследования в этой области начаты в работах Плоткина, Baumslag, Харламповича, Мясникова и Ремесленникова.
В докладе будут рассмотрены три подхода к основной задаче алгебраической геометрии над алгебраическими системами: алгебраический, геометрический и логический. Будут сформулированы две основные теоремы (Объединяющие теоремы), которые согласовывают разные подходы.