Топология интегрируемых систем на комплексном проективном пространстве

В докладе будут обсуждаться некоторые задачи, связанные с топологической классификацией интегрируемых гамильтоновых систем на комплексном проективном пространстве.
Во-первых, мы рассмотрим гамильтоновы системы на проективной плоскости комплексной размерности $2$. Классификационная задача в этом случае сводится к вычислению топологической монодромии соответствующего интегрируемого слоения. Оказывается, что всевозможные матрицы монодромии удается описать в терминах троек Маркова; эти тройки целых чисел являются решением известного диофантова уравнения, возникающего, между прочим, при анализе ряда других геометрических конструкций на проективной плоскости. Если позволит время, я планирую обсудить связь этих результатов с недавней работой R.Vianna, в которой он построил бесконечную серию экзотических лагранжевых торов в проективной плоскости, которые также параметризуются тройками Маркова.
Во-вторых, мы обсудим некоторые общие свойства пуассоновских действий в целом. Классическая формула Пуанкаре-Хопфа утверждает, что на компактном многообразии алгебраическая сумма нулей векторного поля общего положения равна эйлеровой характеристике. Я приведу аналог данной теоремы для интегрируемых гамильтоновых систем: алгебраическая сумма общих нулей коммутирующих гамильтоновых полей также равна эйлеровой характеристике. В качестве приложения этой формулы мы сведем задачу топологической классификации интегрируемых систем с невырожденными особенностями на комплексном проективном пространстве размерности $3$ к гипотезе Пуанкаре, недавно подтвержденной Перельманом, и докажем, что все такие системы топологически эквивалентны.