Полиномы ХОМФЛИ узлов и зацеплений: от R-матричного представления к сумме по путям на графе

Семинар будет посвящен R-матричному представлению Решетихина — Тураева для полиномов зацеплений, а также некоторым улучшениям этой конструкции, достигнутым в результате нашей работы.
Мы начнем с краткого изложения исходной конструкции для полиномов узлов — на примере вычисления полинома Джонса для узла-трилистника. Затем мы кратко обсудим понятие квантовой Rm-матрицы — объекта, который позволяет перейти от полиномов Джонса к полиномам ХОМФЛИ: простым и раскрашенным, а также приведем явный вид этой матрицы в интересующем нас случае.
Далее мы обсудим переход от исходного представления для инварианта узла/зацепления к стартовой точке нашей работы: к формуле суммы по характерам. Эта формула, в частности, позволяет свести вычисление свертки Rm-матриц, зависящих от выбора группы и имеющих размер, например, $N^2$ для групп серии $\mathrm{sl}_N$, к вычислению следа от произведения матриц небольшого размера, одинаковых для всех групп данной серии. Зависимость от ранга группы при этом концентрируется в коэффициентах перед этими следами (характерах). Это позволяет сделать аналитическое продолжение по $N$ в выражении для инварианта зацепления — что необходимо для определения полинома ХОМФЛИ. Применение формулы разложения по характерам требует представления узла в виде замыкания косы, причем сложность этой формулы определяется, прежде всего, числом прядей в косе. Формулу разложения по характерам мы поясним с помощью примера — простейшего полираскрашенного полинома ХОМФЛИ для зацепления «кольца Борромео».
После этого мы обратимся непосредственно к нашей работе. Она состояла в том, чтобы найти удобное — как для компьютерных вычислений, так и для анализа общих свойств инвариантов зацеплений — представление для матриц, входящих в формулу разложения по характерам. Основной результат — полученное представление мы опишем с помощью простейших нетривиальных примеров: мы явно построим искомые матрицы в случае 3- и 4-прядных кос.
Наконец, мы кратко опишем процедуру каблирования для полиномов ХОМФЛИ, которая позволила применить разработанную нами процедуру к вычислению раскрашенных полиномов. Алгоритм, который при этом получается, мы опишем на примере вычисления простейшего раскрашенного полинома ХОМФЛИ для узла-трилистника.