Непрерывные траекторные инварианты интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы

В докладе изучаются невырожденные интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы, точнее их ограничения на неособые компактные изоэнергетические поверхности $Q^3=\{H=0\}$, где $H$ - функция Гамильтона системы. Изучается траекторная эквивалентность таких систем на $Q^3$, а также их "устойчивая траекторная эквивалентность" (т.е. траекторная эквивалентность возмущенных систем для подходящих сколь угодно малых возмущений систем). Эквивалентным образом можно изучать "интегрируемые бездивергентные потоки" (т.е. интегрируемые магнитные поля) на замкнутом ориентируемом трехмерном многообразии $Q^3$.
В докладе изучаются непрерывные (относительно естественной топологии) инварианты траекторной эквивалентности систем на рассматриваемом пространстве $S(Q^3)$ интегрируемых гамильтоновых систем на $Q^3$. Основная сложность состоит в изучении таких инвариантов в окрестностях систем, первый интеграл которых имеет совпадающие критические значения (т.е. имеет сложные атомы). Мы доказываем, что для любого плоского атома, а также для широкого класса торических атомов, существуют лишь "тривиальные" непрерывные инварианты траекторной эквивалентности. Для нескольких бесконечных серий атомов мы описываем все (или один нетривиальный) непрерывные траекторные инварианты. Мы также приводим достаточное условие и необходимое условие для существования нетривиального непрерывного траекторного инварианта для данного атома.
Мы используем результат А.В.Болсинова и А.Т.Фоменко (1994) о полном инварианте траекторной эквивалентности на пространстве $S(Q^3)$. Однако этот инвариант не является непрерывным на всем пространстве $S(Q^3)$, а непрерывен лишь на любом классе лиувиллевой эквивалентности систем из $S(Q^3)$.