Инвариант свободного $n-n$ тангла в свободную группу

Рассмотрим инвариант свободных зацеплений в свободном произведении. В.О.Мантуров построил отношение между группой классических кос и представлением группы с элементами, связанными с горизонтальными тройками. Но эту конструкцию на удается распространить на танглы или зацепления, потому что для построения этого инварианта нужен подсчет троек. Для танглов, следов компонент тангла, тройки могут встречаться дважды. Свободное зацепление получится из свободного тангла приклейкой крайних точками каждой компоненты.
Для свободного зацепления мы построим инвариант в свободной группе следующим образом: свяжем каждый элемент свободной группы с 4-валентными вершинами в свободном тангле (или в свободном зацеплении). Для свободного тангле с данными компонентами мы «читаем» все пересечения, следуя по компоненте в данном направлении, и пишем эти пересечения как элементы в группе. Но«чистые» перекрестки могут вызывать проблемы. Возникающая проблема решается при помощи следующей леммы: если две диаграммы без чистых перекрестков эквивалентны, то они эквиваленты посредством применения конечной последовательности движений, где у каждой диаграммы в последовательности нет чистых перекрестков. Это утверждение является примером реализации следующего принципа: эквивалентное соотношение на подмножестве совпадает с эквивалентным соотношением на оригинальном множестве.