Бифуркационная диаграмма интегрируемого случая М. Адлера и П. ван Мёрбеке

Общий случай интегрируемости на алгебре Ли $so(4)$, найденный М. Адлером и П. ван Мёрбеке [3], до сих пор является в динамике твердого тела одним из наиболее сложных и наименее изученных. Его появлению мы обязаны прежде всего работам А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко [1], [2], посвященным интегрированию уравнений Эйлера на конечномерных группах Ли. В результате на $so(4)$ возникает новое семейство интегрируемых квадратичных гамильтонианов с дополнительным интегралом четвертой степени. Его существование связано с особой симметрией $so(4)$, допускающей вещественное представление в виде прямой суммы $so(3)\oplus so(3)$. В явном виде дополнительный интеграл представлен в оригинальной статье [3].
Несколько позже, А. Рейман и М. Семенов-Тян-Шанский в работе [4] указали для интегрируемого случая М. Адлера и П. ван Мёрбеке представление Лакса со спектральным параметром $\dot L (\lambda) = [L(\lambda), A(\lambda)]$, используя для его построения особую алгебру $\mathfrak g$. Различные виды дополнительного интеграла, отличные от [3], были указаны A. В. Болсиновым и А. В. Борисовым [5], В. В. Соколовым [6] (см. также [7]).
Хорошо известно, что инварианты матрицы $\mathrm{Tr}L(\lambda)$ являются первыми интегралами движения, которые порождают отображение момента $\mathcal F$. Общих теорем о связи бифуркационной диаграммы (образа критических точек отображения момента) с дискриминантным множеством алгебраической кривой, определяемой уравнением $\Gamma(\lambda, \mu) = \det(L(\lambda) - \mu\mathrm I)$, на сегодняшний день еще не существует. Тем не менее, как показывает опыт исследования конкретных механических систем [8], [9], [10], такая связь прослеживается и ее можно сформулировать и использовать в качестве гипотезы при выводе уравнений бифуркационной диаграммы с последующими обоснованиями достаточности.
В докладе приводится в явном виде спектральная кривая $\Gamma(\lambda, \mu)$ для интегрируемого случая П. Адлера и П. ван Мёрбеке, что дает возможность нахождение бифуркационной диаграммы отображения момента $\mathcal F$ исходя из особенностей спектральной кривой. Предполагается аналитически исследовать критические точки ранга 0 и 1 отображения момента (положения равновесия и критические периодические траектории) и дать их аналитическую классификацию (определение типа в зависимости от значений параметров).
Список литературы
[1] Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1978. – 42, No 2. – C. 396–415.
[2] Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Интегрируемость уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли // Труды сем. по вект. и тенз. анализу. – 1979. – 19. – Москва: Изд-во Моск. Унив. – C. 3–94.
[3] Adler M., van Moerbeke P. A. A new geodesic flow on $so(4)$ // Probability, statistical mechanics and number theory. Advances in mathematics supplementary studies. – 1986. – 9. – P. 81–96.
[4] Reyman A. G. and Semenov-Tian-Shansky M. A. A New Integrable Case of the Motion of the 4-Dimensional Rigid Body // Commun. Math. Phys. – 1986. – 105, no. 3. – P. 461–472.
[5] Болсинов А. В., Борисов А. В. Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли // Матем. заметки. – 2002. – 72, No 1. – C. 11–34.
[6] Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. Гамильтоновы методы, интегрируемсоть, хаос. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. – 576 с.
[7] Адлер В. Э., Марихин В. Г., Шабат А. Б. Квантовые волчки как примеры коммутирующих дифференциальных операторов // ТМФ. – 2012. – 172, No 3. – C. 355–374.
[8] Рябов П. E. Алгебраические кривые и бифуркационные диаграммы двух интегрируемых задач // Механика твердого тела. – 2007. – No 37. – C. 97–111.
[9] Рябов П. Е. Фазовая топология одной неприводимой интегрируемой задачи динамики твердого тела // ТМФ. – 2013. – 176, No 2. – C. 205–221.
[10] Ryabov P. E. New invariant relations for the generalized two-field gyrostat // Journal of Geometry and Physics. – 2015. – 87. – P. 415–421.