Симметрические инварианты алгебр Ли и способы их вычисления

Описание кольца $S(\mathfrak q)^{\mathfrak q} = \mathbb C[\mathfrak q^*]^Q$ симметрических инвариантов комплексной алгебраической алгебры Ли $\mathfrak q = \mathop{\mathrm{Lie}} Q$ (группа Q предполагается связной) — интересная и занимательная задача, в общем случае неразрешимая. Мы обсудим некоторые способы её решения и некоторые классы алгебр Ли, например полупрямые произведения, для которых алгебра $S(\mathfrak q)^{\mathfrak q}$ является кольцом многочленов (то есть имеет алгебраически независимые образующие).