О распределении времени, проводимого марковской цепью на разных уровнях до момента достижения фиксированного состояния

Рассмотрим однородную марковскую цепь $S=(S_k)_{k\ge 0}$ с множеством фазовых состояний $\mathbb{Z}=\{0,\pm 1,\pm 2,\dots\}$, начальным распределением $p_0(i)=\mathsf P(S_0=i)$ и переходными вероятностями $p_{i, j}=\mathsf P(S_n=j\mid S_{n-1}=i)$, $i, j\in\mathbb{Z}$. Положим
$$ N_n(a)=\sum_{k=1}^nI(S_k=a), $$
где $a\in\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,\dots\}$, и пусть $\tau_b=\inf\{k>0:S_k=b\}$, где $b\in\mathbb{Z}$.
В работе исследован вопрос о нахождении распределения вероятностей случайной величины $N_{\tau_b}(a)$, которая есть число посещений состояния $a$ марковской цепью $S$ до момента $\tau_b$ первого попадания цепи в состояние $b$. Основным результатом является теорема, в которой устанавливается, что распределение $N_{\tau_b}(a)$ будет геометрическим с параметрами, зависящими от $a$ и $b$. Во второй части работы эти параметры находятся для бернуллиевского случайного блуждания.
Теорема. Если $a\in\mathbb{Z}_+=\{0,1,2,\dots\}$ и $b\in\mathbb{Z}$ ($b\ne a$) таковы, что $\mathsf P_a(\tau_a<\tau_b)<1$, то распределение времени $N_{\tau_b}(a)$ относительно меры $\mathsf P_x$ задается формулами
$$ \begin{cases} \mathsf P_x(N_{\tau_b}(a)=0)=1-\alpha_x,\\ \mathsf P_x(N_{\tau_b}(a)=k)=\alpha_x(1-\alpha_a)\alpha_a^{k-1},\ k=1,2,\ldots , \end{cases} $$
где $\alpha_x=\mathsf P_x(\tau_a<\tau_b)$ для $x\in\mathbb{Z}$. В частности, $\mathsf E_xN_{\tau_b}(a)=\displaystyle\frac{\alpha_x}{1-\alpha_a}$.