The structure of unital maps and the asymptotic quantum Birkhoff conjecture

Одна из теорем Биркгофа утверждает, что всякая бистохастическая матрица есть выпуклая комбинация матриц перестановок. Некоммутативным аналогом стохастического отображения является квантовый канал, т.е. вполне положительное отображение эрмитовых матриц, сохраняющее след. Обобщается ли теорема Биркгофа на квантовые каналы? Аналогом бистохастических матриц являются унитальные каналы, сохраняющие единичную матрицу. Естественным некоммутативным обобщением теоремы Биркгофа было бы утверждение, что всякий унитальный канал есть выпуклая комбинация унитарных отображений, что, однако, неверно. Более слабым утверждением является асимптотическая квантовая гипотеза Биркгофа об аппроксимации унитарными отображениями $n$-й тензорной степени канала при $n$ стремящемся к бесконечности. Мы показываем, что такая гипотеза также неверна и предлагаем классификацию унитальных каналов, связанную с этой гипотезой.