Прямая и обратная задачи отслеживания хаотических траекторий

В самом общем виде задача об отслеживании формулируется следующим образом: при каких условиях рядом с любой псевдотраекторией динамической системы найдется точная траектория? Задача об отслеживании псевдотраекторий лежала у истоков возникновения гиперболической теории. Наиболее известный результат «лемма об отслеживании», полученный Аносовым, утверждает, что в окрестности гиперболического множества динамическая система обладает свойством отслеживания.
С тех пор свойство отслеживания играет важную роль в качественной теории динамических систем, в том числе и для систем не являющихся равномерно гиперболическими. Например, используя так называемое слабое свойство отслеживания Кровизье (2006) исследовал вопросы плотности периодических траекторий и спектрального разложения для $C^1$-типичного диффеоморфизма, используя обратное свойство отслеживания Сариг (2013) показал, что диффеоморфизмы с положительной энтропией на поверхностях могут быт приближены счетными марковскими цепями, что позволило доказать гипотезы выдвинутые Катком и Буззи.
В данном докладе мы будем рассматривать в основном задачу обратную к лемме об отслеживании – при каких условиях отслеживание влечет гиперболичность? При этом важную роль играют количественные аспекты свойства отслеживания, а именно зависимость между погрешностью псевдотраекторий и точностью отслеживания. Также будут рассмотрены вопросы длины отслеживаемых псевдотраекторий и устойчивость свойства отслеживания к малым возмущениям динамической системы.
Рассматриваются как дискретные динамические системы так и векторные поля. Для изучения количественных характеристик свойства отслеживания развита теория неоднородных разностных уравнений. Для векторных полей представлен новый механизм отслеживания псевдотраекторий, позволяющий построить не структурно устойчивые векторные поля, обладающие свойством отслеживания вместе со всеми своими малыми возмущениями. Отметим, что для дискретных динамических систем подобный пример невозможен.