Случайные подстановки с длинами циклов из заданного множества нулевой плотности

Рассматривается множество всех подстановок степени $n$, длины всех циклов в которых приндлежат заданному счетному подмножеству $A$ с нулевой асимптотической плотностью. Рассмотрены два случая асимптотического поведения величины $N^{-1} |\{k \in A: k < N\}|$ при $N \to \infty$. Условиям одного из этих случев удовлетворяет множество простых чисел. Получены оценки чисел таких подстановок при $n \to \infty$. Доказаны локальные предельные теоремы для числа $\nu_n$ циклов в случайной подстановке, выбираемой равновероятно из всех подстановок степени $n$ с длинами циклов из множества $A$. Показано, что при $n \to \infty$ случайные величины $\nu_n$ асимптотически нормальны, а распределения случайных величин $\nu_n(a)$, равных числу циклов фиксированной длины $a\in A$, сходятся к распределению Пуассона.