Асимптотическая оптимальность критерия хи-квадрат в классе перестановочно-инвариантных критериев

Первоначальной целью исследования было отыскание асимптотически оптимального критерия проверки гипотезы $H_0$ о равномерности распределения на $[0,1]$ по частотам $\nu_1,\dots,\nu_N$ попадания $n$ н.о.р. наблюдений в интервалы разбиения $[0,1]$ на отрезки длины $1/N$, когда $N,n\to\infty$. А именно, цель была доказать, что критерий хи-квадрат, основанный на статистике $\sum\nu_i^2$, является асимптотически наиболее мощным в классе симметричных (перестановочно-инвариантных) критериев. Этот класс — наиболее естественный при отсутствии какой-либо конкретизации альтернатив к $H_0$.
Удалось решить более простую задачу, получаемую из описанной выше предельным переходом по $n\to\infty$. Тогда частоты (при соответствующем центрировании и нормировании) переходят в сл. в. $x_{N1},\dots,x_{NN}$, имеющие нормальные распределения $\mathcal N(\mu_{Ni}, 1)$, $i=1,\dots,N$, и проверяется гипотеза $H_0 \colon \mu_{Ni}=0$, $i=1,\dots,N $. Сл. в. $x_{Ni}$ предполагаются независимыми. (Ограничению $\sum\nu_i=n$ соответствовало бы условие $\sum x_{Ni}=0$, но оно автоматически учитывается в статистике $Z_N^2$ ниже.) Доказывается, что при любой заданной последовательности альтернатив ${\boldsymbol{\mu}}_N=(\mu_{Ni})_{i=1}^N$, таких, что $\sum\mu_{Ni}=0$, $\sum\mu_{Ni}^2=O(N^{1/2})$ и выполняются некоторые условия равномерной малости $\mu_{Ni}$, последовательность критериев, основанных на статистиках $Z_N^2={\sum}_{i=1}^N(x_{Ni}-\bar x_N)^2$, является асимптотически наиболее мощной в классе критериев, симметричных относительно порядка компонент $(x_{Ni})_{i=1}^N$. При указанных выше альтернативах $\|{\boldsymbol{\mu}}_N\|\asymp N^{1/4}$ достигается нетривиальная мощность критерия.