|
|
Семинар отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика» (семинар С. П. Новикова)
13 мая 2015 г. 18:30, г. Москва, мехмат МГУ, ауд. 16-22
|
|
|
|
|
|
Явное вычисление полиномов узлов с помощью квантовых R-матриц
А. С. Анохина Институт теоретической и экспериментальной физики им. А. И. Алиханова, г. Москва
|
Количество просмотров: |
Эта страница: | 159 |
|
Аннотация:
Я расскажу о вычислении некоторых инвариантов узлов (полиномов
ХОМФЛИ) с помощью R-матриц. Оказывается, что если с узлом связать
четырехвалентный граф — проекцию узла на плоскость, то полином
ХОМФЛИ узла можно определить как среднее от полной свертки некоторых
операторов, стоящих в вершинах. Полученная таким образом величина
будет топологически инвариантной, если на эти операторы выполнены
определенные соотношения. Если, помимо этих соотношений, операторы
удовлетворяют характреристическим уравнениям специального вида
(скейн-соотношениям), то окажется, что инвариант произовольного
узла, определенный как среднее от операторной свертки, можно
вычислить с помощью соотношений между средними (тождеств Уорда),
следующих из перечисленных операторных тождеств (дополненных
условиями нормировки).
С другой стороны, для операторов можно написать явные выражения,
пользуясь тем, что одно из условий топологической инвариантности
(связанное с третьим движением Редемейстера) оказывается уравнением
Янга-Бакстера, решения которого хорошо известны в теории
интегрируемых систем. Метод R-матриц, в отличие от метода
скейн-соотношений, позвляет также вычислять инварианты более общего
вида: так называемые раскрашенные полиномы ХОМФЛИ. Кроме того, есть
надежда адаптипровать этот метод для изучения так называемых
суперполиномов узлов.
В своем сообщении я подробно разберу простые примеры вычислений
полиномов ХОМФЛИ с помощью скейн-соотношений и R-матриц, обращая
внимание на сходство и различие этих методов, а также на различные
тонкости приложения метода R-матриц к явному вычислению полиномов
узлов. Затем я кратко сформулирую, с какими проблемами мы
столкнулись, применяя этот метод, и как именно нам удалось
продвинуться в их решении.
|
|