Процессы Орнштейна–Уленбека как пределы процессов Пуассона и модель внутреннего времени финансового рынка

Процессы Пуассона и Орнштейна–Уленбека обладают тем общим свойством, что линейной заменой времени у них можно добиться равенства единице коэффициентов интенсивности и вязкости, соответственно. Мы рассмотрим базовую предельную теорему (БПТ), которая устанавливает факт сходимости специальным образом взвешенных независимых одинаково распределенных процессов Пуассона к процессу Орнштейна–Уленбека. Предельный процесс Орнштейна–Уленбека будет иметь вязкость, равную интенсивности пуассоновских процессов. Мы отметим основные конструктивные причины возникновения процессов типа Орнштейна–Уленбека при данном подходе. Далее БПТ обобщается в направлениях: 1) от одномерного времени – к двумерному; 2) от использования однородных процессов Пуассона – к неоднородным; 3) комбинация пунктов 1), 2). В результате возникает случайное поле, названное полем Винера–Орнштейна–Уленбека (ВОУ), неоднородный процесс Орнштейна–Уленбека и неоднородное поле ВОУ, соответственно. Мы обсудим модельную интерпретации БПТ, основанную на задержках в фиксации наблюдений, и концепцию синхронизации этих задержек. Мы рассмотрим семейство финансовых моделей, основанное на данной интерпретации и на понятии внутреннего времени рынка, которое мы формализуем. Возникающие модельные процессы – гауссовские, поведение их во многом похоже на поведение броуновского движения. Их ковариации полностью соответствуют ковариационной структуре лог-цены в моделях стохастической волатильности, включая модели, когда стохастическая волатильность следует дробному процессу Орнштейна–Уленбека.